sexta-feira, 29 de julho de 2016

SÍMBOLOS

Postado por Dora às 18:11:00

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SERVIÇOS VOLUNTARIADO

Grupo Educacional
Publicação: 08/03/2012
Responsável: Depto. Projetos Sociais
Prezado aluno prestador de trabalhos voluntários.
Se você é aluno bolsista de Programas Sociais das Faculdades do Grupo Educacional UNIESP ou participante do
Programa “A UNIESP PAGA”, cuja contrapartida é a realização de quatro a seis horas semanais de trabalhos Voluntários
EM INSTITUIÇÕES SEM FINS LUCRATIVOS, fique atento: se qualquer instituição ou mesmo pessoa física lhe solicitar
qualquer tipo de pagamento para que você possa ser aceito como voluntário, mude de instituição! Afinal, se esta
instituição exige um valor para aceitá-lo ela não é, obviamente, sem fins lucrativos.
São muitas as instituições sérias que precisam de você para realizar trabalhos visando ao bem de pessoas necessitadas
de vários tipos de ajuda. Os atos de amor ao próximo não têm preço, e o objetivo de encaminhá-lo para esse tipo de
trabalho é formá-lo não só como profissional experiente e bem sucedido ou como cidadão atuante, mas principalmente
como indivíduo solidário e ético.
Veja algumas sugestões de entidades sem fins lucrativos do Centro de Voluntariado de São Paulo no site
http://www.voluntariado.org.br/.
Não há, portanto, motivos para você pagar a fim de se tornar um trabalhador voluntário ou para ter seu relatório
mensal comprobatório do que realizou na entidade. As Faculdades do Grupo Educacional UNIESP não compactuam com
essa vergonhosa prática.
Lembramos também que a carga horária total de trabalhos realizados será registrada em seu Histórico Escolar e que,
dependendo da natureza desses trabalhos, eles poderão valer também como atividades complementares

TESTE SEU RACIOCINIO

Nesta seção, são apresentados alguns exercícios que não envolvem conhecimentos de teorias ou fórmulas. Somente o seu raciocínio.

1) É fácil de ver que existem 9 números de um algarismo, 90 números de dois algarismos, 900 números de três algarismos, etc. Pense agora em números que tenham o último algarismo da direita representando o total de algarismos dos números. Por exemplo, o 9074 é um deles (pois o '4' final indica o número de seus algarismos). Você tem idéia de quantos números desse tipo existem?
(a) há 45 números assim
(b) há infinitos números desse tipo
(c) há um milhão de números assim
(d) há cem milhões de números desse tipo
(e) faltam dados para a solução numérica ser única

2) Uma floresta tem um milhão de árvores. Nenhuma das árvores tem mais de 300 mil folhas em sua copa. Pode-se concluir que:
(a) certamente existem árvores com copas de mesmo total de folhas nessa floresta
(b) somente por acaso haverá árvores com copas de igual total de folhas na floresta
(c) certamente existem árvores com menos de 300 mil folhas em sua copa
(d) o número médio de folhas nas copas é de 150 mil
(e) nada do que foi dito pode ser concluído dos dados apresentados

3) Uma caixa d'água tem o espaço interno na forma de cubo com 1 metro de aresta. Retira-se um litro de água da mesma o que baixa o nível da água em seu interior. De quanto baixa esse nível?

OLIMPIADAS DA MATEMATICA-VAI ENCARAR?

34a. Olimpíada Brasileira de Matemática OBM-2012

PERÍODO DE INSCRIÇÕES PARA AS ESCOLAS
• 26 de março a 30 de abril de 2012

NÍVEIS DE PARTICIPAÇÃO

• Nível 1: alunos do 6o. e 7o. anos do ensino fundamental.
• Nível 2: alunos do 8o. e 9o. anos do ensino fundamental.
• Nível 3: alunos do ensino médio.
• Nível Universitário: alunos de graduação de qualquer curso e qualquer período.

CALENDÁRIO 34ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA:

NÍVEIS 1 - 2 e 3
• Primeira Fase: sábado, 16 de junho de 2012
• Segunda Fase: sábado, 22 de setembro de 2012
• Terceira Fase: sábado, 27 de outubro, (níveis 1, 2 e 3)
domingo, 28 de outubro, para os níveis 2 e 3 (segundo dia de prova).

NÍVEL UNIVERSITÁRIO
• Primeira Fase: sábado, 22 de setembro de 2012
• Segunda Fase: sábado 27 e domingo 28 de outubro de 2012

SAIBA +
http://www.obm.org.br/opencms/

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MATEMATICA

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Bissetriz

Tipos de bissetriz

Existem dois tipos de bissetriz:

A bissetriz interna - que é a bissetriz do próprio ângulo
A bissetriz externa - que é a bissetriz do ângulo formado por uma semi-reta que compõe o ângulo e pela semi-reta oposta à outra semi-reta, ou em outras palavras, é a bissetriz do ângulo suplementar a este.

Propriedades de uma bissetriz

As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.
Analogamente, as bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.
As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.

Construção com régua e compasso

Construção de uma bissetriz

É possível construir a bissetriz de um ângulo usando apenas régua e compasso.Para isso, é necessário seguir os seguintes passos:

Quando se quer fazer a bissetriz em um determinado ângulo O, põe-se o compasso no ponto O e traça-se uma circunferência (de qualquer raio), que interceptará as semirretas que determinam o ângulo nos pontos A e B.
Põe-se então o compasso no ponto A e traça-se uma circunferência (também de qualquer tamanho, mas se espera que ela não seja pequena demais)
Repete-se o mesmo procedimento do A no ponto B (mas a circunferência tem que ter o mesmo raio que a do ponto A).
As duas circunferências se interceptarão nos pontos C e C' (ou talvez apenas em um ponto C,dependendo do tamanho das circunferências).Traça-se então uma reta OC (ou OC').Esta reta será a bissetriz do ângulo O.

Para a bissetriz de um ângulo côncavo

A bissetriz de um ângulo côncavo será a semirreta oposta à bissetriz do ângulo replementar deste.

As bissetrizes em um triângulo

Bissetrizes de um triângulo e círculos exinscritos e inscritos

Um triângulo possui dois tipos de bissetrizes: bissetrizes internas e bissetrizes externas.

As três bissetrizes internas do triângulo são concorrentes, e o ponto de encontro delas é o incentro, que é o centro da circunferência inscrita no triângulo, e este ponto também é equidistante de todos os lados do triângulo.
É sabido também que duas bissetrizes externas de dois vértices diferentes, junto com a bissetriz interna do terceiro vértice do triângulo também são concorrentes e se encontram no exincentro dele, que é equidistante a um lado do triângulo e aos prolongamentos dos outros dois lados deste triângulo.

Teorema da bissetriz interna

Neste triângulo, BD:DC = AB:AC.

O teorema da bissetriz interna diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz interna do ângulo A que determina sobre o segmento BC um ponto D, tem-se que os segmentos BD e CD formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz de A, e sendo D a intersecção entre a bissetriz e o lado BC, tem-se que:

$\frac {AB}{BD}=\frac {AC}{CD}$

Teorema da bissetriz externa

Neste triângulo BH:CH=AB:AC

O teorema da bissetriz externa diz que, dado um triângulo ABC, fazendo-se uma bissetriz externa do ângulo A que determina sobre a reta do segmento BC um ponto H, tem-se que os segmentos BH e CH formados por este ponto são diretamente proporcionais aos lados AB e AC,respectivamente.

Em outras palavras, tendo um triângulo ABC, partindo uma bissetriz externa de A, e sendo H a intersecção entre a bissetriz e a reta do lado BC, tem-se que:

$\frac {AC}{CH}=\frac {AB}{BH}$ e quem copiar não vai aprender mas procure em livros na biblioteca

Mediatriz

Construção de uma mediatriz, as extremidades do segmento são os pontos A e B da definição.

É o lugar geométrico dos pontos que equidistam de dois pontos A e B distintos^[1]. Com o traçado da mediatriz a determinação do ponto médio do segmento AB é uma consequência^[2].

Circuncentro

O circuncentro é a intersecção das mediatrizes dos lados de um triângulo. É deste ponto que se pode desenhar uma circunferência circunscrita ao triângulo,que irá tangenciar os seus vértices. Ou seja é o encontro das bissetrizes externas do triangulo. Uma Propriedade importante do Circuncentro é o fato de que ele é equidistante dos seus vértices.

TRIANGULO

Triângulo

TRIANGULOS

Um triângulo.

No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

Índice

1 Tipos de triângulos
2 Condição de existência de um triângulo
3 Fatos básicos
4 Área
5 Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo
6 Relações de desigualdades entre lados e ângulos
7 Bibliografia
8 Ver também

Tipos de triângulos

Os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apoia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção ao perímetro da esfera.


Equilátero	Isósceles	Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares (ou seja, sua soma é igual a 90°).
Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos(formando 180°).


Retângulo	Obtusângulo	Acutângulo

Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

$|b-c| < a < b+c$

Fatos básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..

Um triângulo é um polígono.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.

Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a 32ª proposição de Euclides afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Por exemplo:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo $e$ a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice $C$ , pode-se afirmar que: $e = \alpha + \beta$

Teorema de Pitágoras.

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

$c^2 = a^2 + b^2$

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

A lei dos senos diz:

$\frac{\sin\alpha}a=\frac{\sin\beta}b=\frac{\sin\gamma}c=\frac1d$

onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:1:\sqrt{2}$ . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: $1:\sqrt{3}:2$ .

Área

Produto Base Altura

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

$A = {(B \cdot h)\over 2}$ , onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

Triângulos equiláteros

Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:

$A = {l^2 \sqrt{3}\over 4}$ .

Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:

$h = {l \sqrt{3}\over 2}$ .

Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.

Semiperímetro

Ver artigo principal: Teorema de Heron

Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Herão (ou Heron), também conhecido como fórmula do semi-perímetro:

$A = {\sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}}$ ,

onde:

$s = {(a + b + c) \over 2}$ é o semi-perímetro.

Lados

Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo a e b dois lados quaisquer de um triângulo, e $\alpha$ o ângulo entre eles, temos que a área é:

$A = {a \cdot b \cdot sen(\alpha) \over 2}$

Raio circunscrito

Ver artigo principal: Lei dos senos

Há ainda a fórmula da área do triângulo em função das medidas dos lados $a, b, c$ e do raio da circunferência circunscrita a esse triângulo $r$ , demonstrada pela lei dos senos:

$A = {a \cdot b \cdot c \over {4*r}}$

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Mediatriz

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales (ou Lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura

O ponto de interseção das alturas é o ortocentro.

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico.

A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula:

$h^2 = {b^2-(c-x)(c+x)\cdot }$

b = hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura do triângulo em questão.
h = altura procurada.
c = base do triângulo.
x = parte da base C do triângulo que foi dividida pela altura.

Mediana

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.

Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas. Ainda para o triângulo Isósceles, vale ressaltar que a formação da bissetriz, coincidindo com o ponto médio de sua base, divide três semi-retas iguais, as quais são percebidas com a inscrição do círculo formado pelo incentro da bissetriz, onde há duas semi-retas, as quais serão o raios do círculo, sendo assim, dividindo-se em três partes iguais a altura do triângulo (que também coincide com a mediana e a bissetriz, cada $\dfrac{1}{3}$ ), explicam-se as relações de a semi-reta que parte do ponto central do círculo até o lado do triângulo valer o mesmo que o raio, isto é, $\dfrac{1}{3}$ e que o resto até o vértice oposto a esse lado valer $\dfrac{2}{3}$ .

Síntese para o triângulo isósceles, propriedade baricentro: semi-retas divididas em dois segmentos, sendo que um é o dobro do outro. Entende-se portanto no triângulo isósceles que se uma parte vale $\dfrac{1}{3}$ , a outra valerá o dobro: $2\cdot \dfrac{1}{3}$ = $\dfrac{2}{3}$ .

Bissetriz

O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Reta de Euler

Ver artigo principal: Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro, o baricentro e o circuncentro (os centros).

Círculo dos Nove Pontos

É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.
2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida maior que a diferença entre as medidas dos outros doi

QUADRADO

Quadrado

Exemplo de quadrado

Um quadrado é um quadrilátero regular, ou seja, uma figura geométrica com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos (de 90º). Todo quadrado é também um retângulo e um losango.

Índice

[esconder]

1 Fórmulas métricas
2 Classificações
3 Propriedades
4 Ver també

Fórmulas métricas

O perímetro de um quadrado de lado l é: $P = 4l\quad$ .
E a área deste quadrado é: $A = {l^2}\quad$ .

Classificações

Diagrama de Venn, com a relação entre os quadrados e os outros paralelogramos.

O quadrado é um paralelogramo, pois os seus lados são paralelos dois a dois.
O quadrado é um losango, pois os seus lados possuem as mesmas medidas e as diagonais são perpendiculares.
O quadrado é um retângulo, pois seus vértices formam ângulos de 90^o e as diagonais possuem as mesmas medidas.
Uma figura geométrica é denominada quadrado quando possui quatro lados iguais e os quatro ângulos retos.

Propriedades

Quadrado com circunferências inscrita e circunscrita.

Num quadrado, as suas diagonais são $\sqrt{2}$ vezes maior que a medida de seus lados. E as diagonais correspondem ao diâmetro de uma circunferência circunscrita ao quadrado, e essa tem área $\pi/\sqrt{2}$ (aproximadamente 1,41) vezes maior que a área do quadrado.
Os lados de um quadrado correspondem a medida de um diâmetro de uma circunferência inscrita ao quadrado; e essa circunferência possui uma área que é $\pi\over_4$ (aproximadamente 0.79) vezes a área do quadrado.
O quadrado apresenta as propriedades de, dentre todos os quadriláteros, para uma dada área, possuir o menor perímetro. E, para um dado perímetro, possuir a maior área.

PARALELOGRAMO

Paralelogramo

Quatro paralelogramos.

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são iguais e paralelos. Por conseguinte, tem ângulos opostos iguais.

Chamando seus lados de "a" e "b", seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

$P = 2(a+b)\quad$

Área

Para calcular a área de um paralelogramo, é preciso traçar-se uma reta perpendicular de um dos lados até o seu oposto, que é um dos lados, que recebe o nome de altura e vale "h", e mutiplica-se esse valor (x) ao comprimento da base b.

$A = b.h\quad$

Há ainda outras duas fórmulas de se calcular a área, caso o valor do ângulo agudo que é aquele de valor inferior à 90º, que se apresenta em umas da diagonais representadas na primeira figura abaixo, que demonstra o ângulo agudo e das diagonais paralelas umas as outras (ou seja, um paralelogramo) diagonais sejam conhecidos:angulos complementares também

$A = a.b.s \alpha\quad$

$A = {{diagonal_1.diagonal_2.sen \alpha} \over 2}$

ÂNGULO

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo^[1]. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus. Ângulo é um dos conceitos fundamentais da matemática, ocupando lugar de destaque na Geometria euclidiana, ao lado de ponto, reta, plano, triângulo, quadrilátero, polígono e perímetro

Elementos conceituais, componentes e aplicações do ângulo

O principal ramo da matemática que se relaciona com o conceito de ângulo é a trigonometria. Além das funções trigonométricas, as principais funções (ou operações) com ângulos são a soma, a subtração e a multiplicação por um número^[3].

Semirretas são os lados do ângulo. Origem ou vértice é o ponto onde as duas semirretas se encontram.Bissetriz é a semirreta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos comuns.

Também é muito notória a conceituação dos números pi e e, ambas usadas nas operações e funções com ângulos.

Já na matemática aplicada é muito comum o uso de ângulos. Exemplos de ramos do conhecimento em que isto ocorre são a cartografia, a geografia, a engenharia, a física, a química, a biologia, vários ramos da medicina, como a ortopedia, a odontologia, a astronomia, a aviação.

Embora o senso comum preveja apenas ângulos positivos, a matemática admite a existência de ângulos negativos, ou seja, ângulos têm sinal. Tal questão é importante mormente no tratamento de vetores na forma polar, em alternativa à forma cartesiana.

Do mesmo modo, é definida na convenção matemática a noção de ângulos entre curvas, como sendo o ângulo entre as retas tangentes no ponto de interseção .

Unidades de medidas para ângulos

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo^[4]. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular na qual o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

O ponto é usado em navegação, e é definido como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente de s por r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variavel k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, $k \approx 57.29577951^\circ$ .

$\theta = \frac{s}{r}(k).$

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Classificações dos ângulos

[editar] Quanto à medida

Ângulo agudo.

Ângulo reto.

Ângulo obtuso.

Ângulo raso.

Ângulo giro ou ângulo completo.

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

Nulo: um ângulo nulo mede 0°; agudo: ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°; reto: um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°; assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares; obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°; raso: ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semirretas opostas; côncavo ou reentrante: ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°; giro ou completo: ângulo que mede 360° (também pode ser chamado de Ângulo de uma volta).

O ângulo reto (90°) é um dos ângulos mais notórios e utilizados, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como, aproximadamente, no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc..

Um ângulo de 360 graus é aquele que completa o círculo. A volta completa coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°). Tal identificação se assemelha à do ângulo negativo com o ângulo positivo que tem como medida exatamente aquele (negativo) somado com a volta completa.

Ângulos Consecutivos: dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo; ângulos adjacentes: Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum; ângulos opostos pelo vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).

Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

Ângulos complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

Ângulos suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

Ângulos replementares: dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

Ângulos explementares: Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.

Histórico

Euclides definiu um ângulo plano como a inclinação entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano. De acordo com Proclus, um ângulo deve ser uma quantidade, qualidade ou relação. O primeiro conceito (quantidade) foi usado por Eudemus, que via o ângulo como desvio de uma linha reta. O segundo conceito (qualidade) foi usado por Carpus de Antioch, que o via como intervalo ou espaço entre linhas intersecantes. Euclides adotou o terceiro conceito, no entanto, sua definição de ângulo reto, agudo e obtuso era claramente quantitativa.

Um dos conhecidos três problemas clássicos da matemática grega foi o da trissecção do ângulo^[6].

O Principia Mathematica, um compêndio que tentou demonstrar do início os fundamentos da matemática, tinha um quarto volume previsto, especialmente para a geometria, mas que nunca foi realizado.

Significações derivadas

Existem vários significados para a palavra ângulo, todos eles derivadas da sua significação matemática, como ponto de vista, imagem que se vê através de uma lente e esquina^[7]. Ângulo também pode significar o local no gol, em futebol, de onde se podem ver os noventa graus da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo" é a expressão da jogada exata.

Referências

↑ Viana, Giovana K. A. M;Toffoli, Sônia F. L.; Sodré, Ulysses. Ensino Fundamental: Geometria: Ângulos (em português). [S.l.: s.n.].. Página visitada em 11 de janeiro de 2012.
↑ Geometria Plana (em português). Brasil Escola. Página visitada em 11 de janeiro de 2012.
↑ Como representar os movimentos de inclinação no mundo? (em português). Click Educação (1 de janeiro de 2006). Página visitada em 11 de janeiro de 2012.
↑ Medidas de ângulos de Arcos (em português). Fundamentos de Matemática Elementar, Universidade Federal da Bahia. Página visitada em 11 de janeiro de 2012.
↑ Heiberg, Johan Ludvig. Euclid (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press, 1908. vol. 1.
↑ Carvalho, João Pitombeira de. Os Três Problemas Clássicos da Matemática Grega (em português). Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. Página visitada em 12 de janeiro de 2012.
↑ Ferreira, Aurélio Buarque de Holanda. Novo dicionário Aurélio da Língua Portuguesa (em português). 2 ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986.

PERPENDICULAR

Perpendicularidade de duas retas

As rectas AB e CD são perpendiculares.

Duas retas são perpendiculares se o ângulo formado entre elas for de 90º.

Perpendicularidade de uma reta e de um plano

Uma reta r e um plano ᾳ são perpendiculares se r for perpendicular a duas retas concorrentes de ᾳ

Perpendicularidade de dois planos

Dois planos são perpendiculares entre si quando toda reta de um, perpendicular à interseção, será perpendicular ao outro.

Perpendicularidade de vetores

Em álgebra linear, definimos vectores perpendiculares a partir de um produto interno (também chamado de produto escalar). Vectores cujo produto interno é zero são perpendiculares. Em um espaço vectorial de n dimensões (onde n é um número inteiro positivo) podem-se escolher conjuntos de n vectores, de modo que cada par de vectores é um par de vectores perpendiculares. Este conjunto é uma base, que, pela propriedade de ortogonalidade entre seus elementos, é chamada de uma base ortogonal. Muitas vezes, questões de concursos exigem noções básicas que não estão presentes nos problemas, para isso precisa se saber algumas relações, como por exemplo a perpendicularidade.

MATEMATICA

Dora: Não coloque preço no trabalho dos outros. Se você acha caro, rápido e fácil, economize dinheiro! Faça você mesmo. O artesão faz arte com paixão e dedicação.

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DESAFIOS

1) Observe as multiplicações a seguir:
12 345 679 x 18 = 222 222 222
12 345 679 x 27 = 333 333 333
12 345 679 x 54 = 666 666 666
Para obter 999 999 999 devemos multiplicar 12 345 679 por quantos?

2) Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras?

3) O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos:
10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos?

4) Um certo número N de dois algarismos é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtém-se um número ímpar. A diferença entre os dois números é o cubo de um número natural. Determine a soma dos algarismos de N.

5) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?

6) Quantos são os números inteiros de 2 algarismos que são iguais ao dobro do produto de seus algarismos?

links maravilhosos

http://www.somatematica.com.br/index2.php
http://xmatematica.com.br/matematica/produtos-notaveis/
http://www.exatas.mat.br/curiosidades.htm

Geometria

Prof:Valdemar-PROVA-09-04-2012

AVALIAÇÃO-
PAG 9
EXERCICIO-7
PAG 11
EXERCICIO-5-6
PAG 12
EXERCICIO-8-10
PAG 17

vc tem direitos

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1ª ETAPA

1º Todos os alunos regularmente matriculados no semestre atual poderão solicitar Bolsa de Estudos;

2º Caso o aluno seja veterano, ele deverá estar em dia com as mensalidades da Faculdade e ter tido rendimento acadêmico de excelência, tido o mínimo de 75% de freqüência, ter histórico disciplinar favorável e não ter participado de
qualquer ato que deponha contra a Instituição em que estuda e é bolsista;

2ª ETAPA
Escolher a Instituição em que realizará seus trabalhos voluntários e solicitar ao responsável por ela que lhe entregue um ofício ou uma declaração de que o aceita para a prestação de serviços, assinada (o) e carimbado(a) por ele. Caso o aluno seja bolsista por meio de CONVÊNIO com empresas, ONGs, associações etc, ele deverá providenciar também uma declaração de que está vinculado a esse conveniado, em papel timbrado e com carimbo e assinatura de seu representante

legal;

3ª ETAPA
Levar a(s) declaração(ões) descrita(s) na 2ª etapa com toda a documentação disponibilizada nos links do final desta página, devidamente preenchida e assinada, para o Departamento de Projetos Sociais da Faculdade.

IMPORTANTE: Para manutenção da bolsa torna-se necessária a apresentação mensal dos Relatórios de Atividades carimbados e assinados pelo responsável da instituição em que o bolsista realiza trabalhos voluntários até o dia 12,
antecipando a entrega no caso da data cair no final de semana. A não entrega ou atraso dos Relatórios de Atividades acarreta na perda do benefício para o mês subseqüente. Clique aqui para acessar um modelo de Relatório de Prestação de Trabalhos Voluntários.

Para continuar com a bolsa de estudos, o aluno bolsista deverá renová-la semestralmente, nas datas informadas pelo Departamento de Projetos Social

Requerimento de requisição ou de renovação de Bolsa de Estudos

Lista de documentos para análise socioeconômica do aluno para requisição de Bolsa
de Estudos

Termo de Compromisso para requisição ou renovação de Bolsa de Estudos

PROJETOS SOCIAS

FACULDADES DO GRUPO EDUCACIONAL UNIESP
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Prezado aluno:

O FIES – FUNDO DE FINANCIAMENTO ESTUDANTIL consiste num fundo do Governo Federal que permite ao estudante o ingresso e a integralização num Curso Superior sem preocupação com a parte financeira,pois seu pagamento se inicia somente após 1 ano e meio da conclusão
do Curso, num prazo de 3 vezes a duração dele (por exemplo, o Curso de Direito tem duração de 5 anos, o que significa que o aluno terá o prazo de 15 anos para pagá-lo) e com juros de apenas 3,4% ao ano. As Faculdades do GRUPO EDUCACIONAL UNIESP estão habilitadas nesse Programa de Inclusão e optaram pelo Fundo Garantidor SEM LIMITES, ou seja, as Faculdades são fiadoras de seus alunos, sendo que até os que têm restrição financeira podem participar do Programa. Para os alunos ingressantes que realizarem Cursos oferecidos no Matutino eno Vespertino via NOVO FIES o fundo de financiamento é pago pela Faculdade, o mesmo ocorrendo com a alunos que vierem transferidos de outra Instituição de Ensino Superior e que integralizem seus Cursos pelo NOVO FIES. Nesses casos, portanto, o aluno não paga o FIES. Esse pagamento é garantido no ato da contratação e da matrícula do aluno no FIES por meio de um Termo de Garantia de Pagamento registrado em Cartório. Segundo a Legislação do Programa e os pronunciamentos da Presidente Dilma Rousseff, alunos concluintes de Cursos de Licenciaturas aprovados em concursos que atuarem na Escola Pública terão a amortização de seu Fundo de Financiamento perdoada. O aluno ingressante nas Faculdades UNIESP
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